Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

2

，設(shè)F₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且△PF₁Q的周長(zhǎng)為4

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)△PQF₁的面積為

3

，求直線PQ的斜率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出2c=2

2

，4a=4

3

，由此能求出橢圓的方程．
（2）設(shè)直線PQ的斜率為k，則直線PQ：y=k(x-

2

)，聯(lián)立

y=k(x- 2 ) x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x-6

2

k²x+6k²-3=0，由橢圓弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式能求出直線PQ的斜率．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

2

，
∴2c=2

2

，解得c=

2

，（1分）
∵F₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且△PF₁Q的周長(zhǎng)為4

3

，
∴4a=4

3

，解得a=

3

，（2分）
∴b²=3-2=1，
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1．（4分）
（2）設(shè)直線PQ的斜率為k，
∵F2(

2

，0)，∴直線PQ：y=k(x-

2

)，
聯(lián)立

y=k(x- 2 ) x2 3 +y2=1

，得（1+3k²）x-6

2

k²x+6k²-3=0，（5分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則△＞0，x₁+x₂=

6 2 k2

1+3k2

，x1x2=

6k2-3

1+3k2

，
F₁（-

2

，0）到直線PQ的距離d=

|- 2 k- 2 k|

k2+1

=

2 2 |k|

k2+1

，（6分）
∵△PQF₁的面積為

3

，
∴

1

2

d•|PQ|=

2 |k|

k2+1

(1+k2)[( 6 2 k2 1+3k2 )2-4× 6k2-3 1+3k2 ]

=

3

，（8分）
解得k=±1．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考是橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意橢圓弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式的靈活運(yùn)用．