Question

已知點(diǎn)A（x₀，y₀）是單位圓O：x²+y²=1上的點(diǎn)，
（1）若點(diǎn)A在第二象限，且y₀=

4

5

時(shí)，求以A為切點(diǎn)的圓O的切線方程；
（2）若α的終邊過點(diǎn)A，且y₀＞0，x₀+y₀=-

1

5

，求cosα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：三角函數(shù)的求值,直線與圓

分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，結(jié)合點(diǎn)A的縱坐標(biāo)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求出OA所在直線的斜率，則以A為切點(diǎn)的圓O的切線方程可求；
（2）由y₀＞0，x₀+y₀=-

1

5

，x02+y02=1聯(lián)立求出A點(diǎn)坐標(biāo)，則cosα的值等于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（x₀，y₀）是單位圓O：x²+y²=1上的點(diǎn)，
∴x02+y02=1，又y₀=

4

5

，
∴x0=±

3

5

．
∵點(diǎn)A在第二象限，
∴x0=-

3

5

．
∴kOA=

y0

x0

=-

4

3

．
則切線的斜率k=-

1

kOA

=

3

4

．
∴切線的方程為y-

4

5

=

3

4

(x+

3

5

)，
即3x-4y+5=0；
（2）由

x0+y0=- 1 5 x02+y02=1 y0＞0

，解得

x0=- 4 5 y0= 3 5

．
∴cosα=-

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線方程，考查了三角函數(shù)的定義，是中檔題．