Question

9．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2（1-x）}{1+x}$（a∈R）定義域?yàn)椋?，1），則f（x）的圖象不可能是（　�。�

• A．
• B．
• C．         {，
• D．

Answer 1

分析 已知函數(shù)f（x），在函數(shù)式中含有參數(shù)，所以本題在定義域內(nèi)對參數(shù)的討論是本題的重點(diǎn)，可以對參數(shù)a分以下幾種情況進(jìn)行討論①a=0②a＜0③a＞0根據(jù)不同的情況進(jìn)行具體分析．

解答 解：f（x）=alnx+$\frac{2（1-x）}{1+x}$（a∈R），定義域?yàn)椋?，1），下面把參數(shù)分以下三種情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)a=0 函數(shù)f（x）=$\frac{2（1-x）}{1+x}$＞0．故A符合，
（2）當(dāng)a＜0 用單調(diào)性來進(jìn)行討論，由于函數(shù)y=lnx在定義域（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，則y=alnx為減函數(shù)，
同時(shí)y=$\frac{2（1-x）}{1+x}$=$\frac{4}{1+x}$-2也為減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）為減函數(shù)，故A符合，
（3）當(dāng)a＞0 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來討論，則f′（x）=$\frac{a}{x}$+$\frac{-4}{（1+x）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+（2a-4）x+4}{x（1+x）^{2}}$，
令f′（x）=0 即ax²+（2a-4）x+a=0，
則△=16-16a下面再分三種情況討論，
①當(dāng)a=1，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x（1+x）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（1+x）^{2}}$＞0 則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故B符合．
②當(dāng)1＞a＞0時(shí)ax²+（2a-4）x+a=0存在兩根x₁=$\frac{2-a+2\sqrt{1-a}}{a}$，x₂=$\frac{2-a-2\sqrt{1-a}}{a}$，由于1＞a＞0則 得到1＞x₁＞0，x₂＞1，
當(dāng)x₁＞x＞0函數(shù)圖象為增函數(shù) 當(dāng)x₁＜x＜1時(shí)為減函數(shù)，故C符合，
③當(dāng)a＞1時(shí) f′（x）＞0恒成立，故B符合，
通過以上討論，排除得到答案應(yīng)D，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題利用的知識(shí)點(diǎn)較多，通過函數(shù)的值，函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類討論難度較大．分類討論是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．