Question

18．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）畫出y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象；
（4）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值及取得最小值時x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2+2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）由五點作圖法即可畫出y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象．
（4）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，從而可求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值及取得最小值時x的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2+2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：kπ$-\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ$-\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
（3）畫出y=f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象如下：

（4）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，f（x）=2+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，4]，
∴當(dāng)x=-$\frac{π}{6}$，或$\frac{5π}{6}$時，f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值為0．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，五點作圖法畫函數(shù)的圖象等知識的綜合應(yīng)用，屬于基本知識的考查．