Question

14．已知函數(shù)f（x）=x（e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$），若f（x₁）＜f（x₂），則（　�。�

• A． x₁＞x₂
• B． x₁+x₂=0
• C． x₁＜x₂
• D． x₁²＜x₂²

Answer 1

分析 先容易判斷出f（x）在R上是偶函數(shù)，所以通過求導(dǎo)可以判斷該函數(shù)在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以由f（x₁）＜f（x₂）得到f（|x₁|）＜f（|x₂|），所以由單調(diào)性即可得到|x₁|＜|x₂|，所以${{x}_{1}}^{2}＜{{x}_{2}}^{2}$．

解答 解：f（-x）=$-x（\frac{1}{{e}^{x}}-{e}^{x}）$=f（x）；
∴f（x）在R上為偶函數(shù)；
$f′（x）={e}^{x}-\frac{1}{{e}^{x}}+x（{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}）$；
∴x＞0時(shí)，f′（x）＞0；
所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
而由f（x₁）＜f（x₂）得，f（|x₁|）＜f（|x₂|）；
∴|x₁|＜|x₂|；
∴${{x}_{1}}^{2}＜{{x}_{2}}^{2}$．
故選D．

點(diǎn)評 考查偶函數(shù)的定義及判斷過程，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及偶函數(shù)定義的運(yùn)用：對于偶函數(shù)f（x），f（x₁）＜f（x₂）和f（|x_1|）＜f（|x_2|）等價(jià)．