Question

已知函數(shù)f（x）=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數(shù)）
（1）若y=f（x）為奇函數(shù)，求出a的值；
（2）在滿足（1）的條件下，探索y=f（x）的單調(diào)性，并利用定義加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用f（0）=0，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域R，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即f（0）=

a

2

-

1

1+1

=

a-1

2

=0，
解得a=1；
經(jīng)驗(yàn)證a=1時函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)．
（2）若f（x）為R上的奇函數(shù)，則a=1，即f（x）=

1

2

-

2x

2x+1

，
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2

-

2x1

2x1+1

-

1

2

+

2x2

2x2+2

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，
2x2-2x1＞0，
∴即f（x₁）-f（x₂）＞0
f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)y=f（x）在R上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用定義法以及奇函數(shù)f（0）=0的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．