Question

13．已知集合$A=\left\{{x\left|{y=\sqrt{{3^x}-3}}\right.}\right\}$，集合$B=\left\{{x\left|{y=\sqrt{{{log}_{0.5}}x+1}}\right.}\right\}$．
（1）求A∩B；
（2）集合C={x|a-2≤x≤2a-1}，且C∪（A∩B）=C，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先分別求出集合A和B，由此利用交集定義能求出A∩B．
（2）由集合C={x|a-2≤x≤2a-1}，且C∪（A∩B）=C，利用交集、并集性質(zhì)列出不等式組，由此能求出實(shí)數(shù)a 的取值范圍．

解答 解：（1）∵集合$A=\left\{{x\left|{y=\sqrt{{3^x}-3}}\right.}\right\}$={x|x≥1}，
集合$B=\left\{{x\left|{y=\sqrt{{{log}_{0.5}}x+1}}\right.}\right\}$={x|0＜x≤2}．
∴A∩B={x|1≤x≤2}．
（2）∵集合C={x|a-2≤x≤2a-1}，且C∪（A∩B）=C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2≤1}\\{2a-2≥2}\end{array}\right.$，解得2≤a≤3．
∴實(shí)數(shù)a 的取值范圍是[2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查并集、交集的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意并集、交集定義的合理運(yùn)用．