Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），滿足：最大值為2，其圖象相鄰兩個最低點之間距離為π，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{a}$=（f（x-$\frac{π}{6}$），1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，-2cosx），$x∈[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}]$，設(shè)函數(shù)$g（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}$，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意求出A、T、ω、φ的值即得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)f（x）求出向量$\overrightarrow{a}$，利用平面向量的數(shù)量積寫出g（x），求函數(shù)g（x）的最值即得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）由題意可得，A=2，T=π，
∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，…（2分）
所以f（x）=2cos（2x+φ），
又∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱，
∴$\frac{π}{6}+φ=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，…（3分）
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又∵$|φ|≤\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，…（5分）
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）；…（6分）
（2）∵f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
∴$f（x-\frac{π}{6}）=2cos[（2（x-\frac{π}{6}）+\frac{π}{3}]=2cos2x$；…（7分）
∵$\overrightarrow{a}$=（f（x-$\frac{π}{6}$），1），$\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，-2cosx）$，$x∈[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}]$，
∴$g（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}=f（x-\frac{π}{6}）×\frac{1}{2}+1×（-2cosx）+\frac{1}{2}$
=$cos2x-2cosx+\frac{1}{2}=2{cos^2}x-2cosx-\frac{1}{2}$；…（9分）
令t=cosx，∵$x∈[-\frac{3π}{4}，\frac{π}{2}]$，
則$t∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$，…（10分）
∴函數(shù)可化為$g（t）=2{t^2}-2t-\frac{1}{2}=2{（t-\frac{1}{2}）^2}-1$，
又∵t∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴當(dāng)$t=\frac{1}{2}$時，$g{（t）_{min}}=g（\frac{1}{2}）=-1$，
當(dāng)$t=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時，$g{（t）_{max}}=g（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=\sqrt{2}+\frac{1}{2}=\frac{{2\sqrt{2}+1}}{2}$；
∴函數(shù)g（x）的值域為$[-1，\sqrt{2}+\frac{1}{2}]$．…（12分）

點評 本題考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用問題，是綜合題．