Question

1．已知長方體AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E為D₁C₁的中點，如圖所示．
（1）在所給圖中畫出平面ABD₁與平面B₁EC的交線（不必說明理由）；
（2）證明：BD₁∥平面B₁EC；
（3）求平面ABD₁與平面B₁EC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BC₁，交B₁C于M，直線ME即為平面ABD₁與平面B₁EC的交線．
（2）推導(dǎo)出EM∥BD₁，由此能證明BD₁∥平面B₁EC．
（3）平面B₁EC上點B₁作BC₁的垂線，交BC₁于F，過點F作直線EM的垂線，交EM于N，連結(jié)B₁N，由三垂線定理知B₁N⊥EM，∠B₁NF就是平面ABD₁與平面B₁EC所成銳二面角的平面角，由此能求出平面ABD₁與平面B₁EC所成銳二面角的余弦值．

解答 解：（1）連結(jié)BC₁，交B₁C于M
則直線ME即為平面ABD₁與平面B₁EC的交線，
如圖所示．
證明：（2）由（1）∵在長方體AC₁中，M為BC₁的中點，
又E為D₁C₁的中點，
∴在△D₁C₁B中EM是中位線，∴EM∥BD₁，
又EM?平面B₁EC，BD₁?平面B₁EC，
∴BD₁∥平面B₁EC．
解：（3）∵在長方體AC₁中，AD₁∥BC₁，
平面ABD₁即是平面ABC₁D₁，
過平面B₁EC上點B₁作BC₁的垂線，交BC₁于F，如圖①，
∵在長方體AC₁中，AB⊥平面B₁BCC₁，∴B₁F⊥AB，
∵BC₁∩AB=B，∴B₁F⊥平面ABD₁于F，
過點F作直線EM的垂線，交EM于N，如圖②，
連結(jié)B₁N，由三垂線定理知B₁N⊥EM，
由二面角的平面角定義知，在Rt△B₁FN中，∠B₁NF就是平面ABD₁與平面B₁EC所成銳二面角的平面角，
∵長方體AC₁中，AD=AB=2，AA₁=1，
在平面圖①中，B₁F=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
FM=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，C₁M=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，C₁E=1，
在平面圖②中，
由△EMC₁∽△FMN₁，得FN=$\frac{E{C}_{1}•FM}{EM}$=$\frac{1×\frac{3\sqrt{5}}{10}}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan$∠{B}_{1}NF=\frac{{B}_{1}F}{NF}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}•\frac{5}{\sqrt{5}}$=2，
cos$∠{B}_{1}NF=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴平面ABD₁與平面B₁EC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查交線的作法，考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．