【題目】如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是線段EF的中點.

(1)求證:AM∥平面BDE;
(2)求證:AM⊥平面BDF;
(3)求A點到面BDF的距離.

【答案】
(1)證明:設(shè)底面對角線的交點為O,連接EO.

∵M為EF的中點,四邊形ACEF為矩形

∴EM∥AO且EM=AO

∴AM∥OE

又因為OE平面BDE 且AM平面BDE

∴AE∥平面BDE.


(2)證明:設(shè)AC與BD交于O點,連OF,OM

在矩形ACEF中四邊形, ,AF=1

所以,AOMF為正方形,故AM⊥OF

又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,且交線為AC

在正方形ABCD中,故AC⊥BD

由面面垂直的性質(zhì)定理,BD⊥面ACEF

又AM面ACEF

所以BD⊥AM

又BD∩OF=O,故AM⊥平面BDF


(3)解:VABDF=VFABD,設(shè)A到面BDF的距離為h,∴


【解析】(1)證明四邊形AMEN是平行四邊形,可得AM∥OE,OE在平面BDE面內(nèi),AM在平面BDE面外,滿足線面平行的判定定理所需條件,從而證得結(jié)論;(2)證明AC⊥BD,BD⊥AM,又BD∩OF=O,即可證明AM⊥平面BDF;(3)利用VABDF=VFABD , 求出A到面BDF的距離.
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想即可以解答此題.

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