Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1 ， AC=BC=BB1 ， D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA1 ．

（1）求證：BC1∥平面DCA1；
（2）求BC1與平面ABB1A1所成角的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖一，連接AC1與A1C交于點(diǎn)K，連接DK．

在△ABC1中，D、K為中點(diǎn)，∴DK∥BC1

又DK平面DCA1，BC1平面DCA1，∴BC1∥平面DCA1、

（2）證明：（方法一）如圖二，∵AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、

取A1B1的中點(diǎn)E，又D為AB的中點(diǎn)，∴DE、BB1、CC1平行且相等，

∴DCC1E是平行四邊形，∴C1E、CD平行且相等．

又CD⊥平面ABB1A1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴∠EBC1即所求角、

由前面證明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱為直棱柱．

設(shè)AC=BC=BB1=2，∴ ， ，∠EBC1=30°、

（方法二）如圖三，∵AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB、

又CD⊥DA1，AB∩DA1=D，∴CD⊥平面ABB1A1、

取DA1的中點(diǎn)F，則KF∥CD，∴KF⊥平面ABB1A1．

∴∠KDF即BC1與平面ABB1A1所成的角．

由前面證明知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，

又AB⊥BB1，AB∩CD=D，∴BB1⊥平面ABC，∴此三棱柱為直棱柱．

設(shè)AC=BC=BB1=2，∴ ， ，∴∠KDF=30°

【解析】（1）連接AC1與A1C交于點(diǎn)K，連接DK．根據(jù)三角形中位線定理，易得到DK∥BC1 ， 再由線面平行的判定定理得到BC1∥平面DCA1；（2）方法一：由AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，取A1B1的中點(diǎn)E，又D為AB的中點(diǎn)，得到DCC1E是平行四邊形，則∠EBC1即為BC1與平面ABB1A1所成角的二面角，解三角形即可求出答案．方法二：由AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，取DA1的中點(diǎn)F，則∠KDF即BC1與平面ABB1A1所成的角．解三角形即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．