Question

10．已知$\overrightarrow{n}$=（2cosx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow{m}$=（cosx，2cosx），設f（x）=$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$+a
（1）若a=1，求f（x）的單調區(qū)間和最大值、最小值，以及取得最大值和最小值時x的值；
（2）若x∈[0，π]且a=-1時，方程f（x）=b有兩個不相等的實數(shù)根x₁、x₂，求b的取值范圍及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 計算向量的數(shù)量積，利用二倍角．兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)f（x）的表達式，得到一個角的一個三角函數(shù)的形式；
（1）利用正弦函數(shù)的性質來求單調區(qū)間和最大值、最小值，以及取得最大值和最小值時x的值；
（2）代入a=-1，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），結合該函數(shù)在區(qū)間[0，π]的圖象把方程f（x）=b的根轉化為函數(shù)圖象的交點問題

解答 解：$f（x）=\overrightarrow n•\overrightarrow m+a=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+a$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$
（1）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，則kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，則kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，故減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
當$x=kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$時，最大值為4，
當x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z時，最小值為0．
（2）當x∈[0，π]且a=-1時，$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，且$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{13π}{6}$，
∴要使方程f（x）=b有兩個不相等的實數(shù)根x₁、x₂，須滿足-2＜b＜2且b≠1．
又${x_1}與{x_2}關于直線x=\frac{π}{6}或x=\frac{2π}{3}對稱$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}或\frac{4π}{3}$．

點評 考查了向量的數(shù)量積公式，倍角公式，兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的圖象性質．考查計算能力，基本知識的靈活運應能力，考查轉化思想．