Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+2+a_n=2a_n+1（n∈N^*），且a₅=$\frac{π}{2}$，若函數(shù)f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，記y_n=f（a_n），則數(shù)列{y_n}的前9項和為（　　）

• A． 0
• B． -9
• C． 9
• D． 1

Answer 1

分析 由數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．由a₅=$\frac{π}{2}$，可得a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π．由f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，可得f（x）=sin2x+cosx+1，可得f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，進(jìn)而得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∵a₅=$\frac{π}{2}$，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π
∵f（x）=sin2x+2cos²$\frac{x}{2}$，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，
∵f（a₅）=1，
∴數(shù)列{y_n}的前9項和為9．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)、倍角公式與和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．