【題目】已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程:
(2)已知實數(shù)時,求證:函數(shù)的圖象與直線:有3個交點.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)求出原函數(shù)的導函數(shù),可得,再求出切點為(1,0),利用直線方程的點斜式可得函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)函數(shù)的圖象與直線交點的個數(shù)等價于函數(shù)的零點個數(shù),通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,求函數(shù)的最值同0進行比較,得到結果.
(1)因為,所以,
所以,
又因為,所以在處的切線方程;
(2)證明:當時,函數(shù)的圖象與直線交點的個數(shù)等價于函數(shù)的零點個數(shù),
因為,,
設,
因為二次函數(shù)在時,,,
所以存在,,使得,,
所以在單調遞增,單調遞減,單調遞增.
因為,所以,,
因此在存在一個零點;
又因為當,,
所以在存在一個零點;
當時,,
所以在存在一個零點;
所以,函數(shù)的圖象與直線:有3個交點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義行列式的運算如下:,已函數(shù)以下命題正確的是( )
①對,都有;②若,對,總存在非零常數(shù)了,使得;③若存在直線與的圖象無公共點,且使的圖案位于直線兩側,此直線即稱為函數(shù)的分界線.則的分界線的斜率的取值范圍是;④函數(shù)的零點有無數(shù)個.
A.①③④B.①②④
C.②③D.①④
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【題目】已知橢圓:過點,且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點,,且線段的垂直平分線過點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是菱形,PC⊥BC,點E是PC的中點,且平面PBC⊥平面ABCD.求證:
(1)求證:PA∥平面BDE;
(2)求證:平面PAC⊥平面BDE.
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【題目】中國在歐洲的某孔子學院為了讓更多的人了解中國傳統(tǒng)文化,在當?shù)嘏e辦了一場由當?shù)厝藚⒓拥闹袊鴤鹘y(tǒng)文化知識大賽,為了了解參加本次大賽參賽人員的成績情況,從參賽的人員中隨機抽取名人員的成績(滿分100分)作為樣本,將所得數(shù)據(jù)進行分析整理后畫出頻率分布直方圖如圖所示,已知抽取的人員中成績在[50,60)內的頻數(shù)為3.
(1)求的值和估計參賽人員的平均成績(保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字);
(2)已知抽取的名參賽人員中,成績在[80,90)和[90,100]女士人數(shù)都為2人,現(xiàn)從成績在[80,90)和[90,100]的抽取的人員中各隨機抽取2人,記這4人中女士的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.
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【題目】已知直線,斜率為的直線與x軸交于點A,與y軸交于點,過作x 軸的平行線,交于點,過作y軸的平行線,交于點,再過作x軸的平行線交于點,…,這樣依次得線段、、、、…、、,記為點的橫坐標,則__________.
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【題目】已知點(其中,點P的軌跡記為曲線,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,點Q在曲線上.
(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
(2)當,時,求曲線與曲線的公共點的極坐標
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【題目】某外賣平臺為提高外賣配送效率,針對外賣配送業(yè)務提出了兩種新的配送方案,為比較兩種配送方案的效率,共選取50名外賣騎手,并將他們隨機分成兩組,每組25人,第一組騎手用甲配送方案,第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時間內完成配送訂單的數(shù)量(單位:單)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖,求各組內25位騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù),已知用甲配送方案的25位騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52,結合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高,并說明理由;
(2)設所有50名騎手在相同時間內完成訂單數(shù)的平均數(shù),將完成訂單數(shù)超過記為“優(yōu)秀”,不超過記為“一般”,然后將騎手的對應人數(shù)填入下面列聯(lián)表;
優(yōu)秀 | 一般 | |
甲配送方案 | ||
乙配送方案 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否有的把握認為兩種配送方案的效率有差異.
附:,其中.
0.05 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,過的直線與拋物線相交于兩點.
(1)若點是點關于坐標原點的對稱點,求面積的最小值;
(2)是否存在垂直于軸的直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出的方程和定值;若不存在,說明理由.
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