Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=4sinθ

（θ為參數(shù)，且0≤θ≤2π），點(diǎn)M是曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求線段OM的中點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsin+1=0（ρ＞0），求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)曲線C₁的參數(shù)方程設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段OM的中點(diǎn)P的參數(shù)方程，在利用同角的正弦和余弦的平方和等于1消參數(shù)，就可得到點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系

x=ρcosθ y=ρsibθ

求出直線l的直角坐標(biāo)方程，由（Ⅰ）中得到的點(diǎn)P的方程知P點(diǎn)軌跡iwei圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，所以點(diǎn)P到直線l距離的最大值是圓心到直線l的距離再加半徑．

解答：解：（Ⅰ）曲線C₁上的動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4cosθ，4sinθ），坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=

1

2

（0+4c0sθ）=2cosθ，y=

1

2

（0+4sinθ）=2sinθ，
∴點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（2cosθ，2sinθ）
∴點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2sibθ

（θ為參數(shù)，且0≤θ≤2π），
消去參數(shù)θ得點(diǎn)P軌跡的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4
（Ⅱ）由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系

x=ρcosθ y=ρsibθ

得直線l的直角坐標(biāo)方程為
x-y+1=0  
 又由（Ⅰ）知點(diǎn)P的軌跡為圓心在原點(diǎn)半徑為2的圓，
因?yàn)樵�點(diǎn)（0，0）到直線x-y+1=0的距離為

|0-0+1|

12+(-1)2

=

2

2

所以點(diǎn)P到直線l距離的最大值2+

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程的互換，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，以及直線和圓的位置關(guān)系的判斷．