Question

（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若直線與平面所成角是，銳二面角的平面角是，試判斷與的大小關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

本小題滿分12分）
（I）

證明：如圖，過點(diǎn)A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，
則由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁于A₁B，
得AD⊥平面A₁BC，        ………………（2分）
又BC平面A₁BC，∴AD⊥BC.
在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，
AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥BC. ………………（4分）
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，　
又AB側(cè)面A₁ABB₁，故AB⊥BC；…………（6分）
（II）

方法1：連接CD，則由（I）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，
………………（8分）
是二面角A₁—BC—A的平面角，即，
………………（10分）
在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，
由ACAB，得又所以
………………（12分）
方法2：設(shè)AA₁=a，AB=b，BC=c，由（I）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB₁所在
的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則B(0，0，0)，A(0，b，0)，C(c，0，0)，，b，a)，
∴(c，0，0)，( 0，b，a)，…………（7分）
( c，-b，0)，設(shè)平面A₁BC的一個(gè)，
由，得，取， ……………（9分）
∴，            
∵平面ABC的法向量為( 0，0，a)，∵二面角A₁—BC—A的平面角是銳角，
∴，
……………（10分）
∵，∴，，
∵，∴．                     ………………（12分）

略