Question

10．已知數(shù)列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=2，{a_n}=\frac{1}{n}+（{1-\frac{1}{n}}）{a_{n-1}}（{n≥2，n∈{N^*}}）$．
（1）證明：數(shù)列{na_n}是等差數(shù)列；
（2）記${b_n}=\frac{1}{{{n^2}{a_n}}}$，{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=2，{a_n}=\frac{1}{n}+（{1-\frac{1}{n}}）{a_{n-1}}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，可得na_n=（n-1）a_n-1+1，即na_n-（n-1）a_n-1=1，即可證明．
（2）由（1）可得：na_n=2+（n-1），可得n²a_n=n（n+1），b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 證明：（1）∵數(shù)列$\left\{{a_n}\right\}，{a_1}=2，{a_n}=\frac{1}{n}+（{1-\frac{1}{n}}）{a_{n-1}}（{n≥2，n∈{N^*}}）$，∴na_n=（n-1）a_n-1+1，即na_n-（n-1）a_n-1=1，
∴數(shù)列{na_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
（2）由（1）可得：na_n=2+（n-1），可得n²a_n=n（n+1）．∴b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．