Question

20．關(guān)于函數(shù)的對稱性有如下結(jié)論：對于給定的函數(shù)y=f（x），x∈D，如果對于任意的x∈D都有f（a+x）+f（a-x）=2b成立（a，b為常數(shù)），則函數(shù)f（x）關(guān)于點（a，b）對稱．
（1）用題設(shè)中的結(jié)論證明：函數(shù)f（x）=$\frac{-2x+1}{x-3}$關(guān)于點（3，-2）；
（2）若函數(shù)f（x）既關(guān)于點（2，0）對稱，又關(guān)于點（-2，1）對稱，且當x∈（2，6）時，f（x）=2^x+3x，求：
①f（-5）的值；
②當x∈（8k-2，8k+2），k∈Z時，f（x）的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設(shè)中的結(jié)論證明即可，
（2）由題意可得f（x+8）=f（x）-2，①代值計算即可，
②由f（x）=f（x-8）-2=f（x-8×2）-2×2=f（x-8×3）-2×3=…=f（x-8k）-2k，然后代值計算即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{-2x+1}{x-3}$的定義域為{x|x≠3}，對任意x≠3有f（3-x）+f（3-x）=（-2-$\frac{5}{x}$）+（-2-$\frac{5}{-x}$）=-4，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{-2x+1}{x-3}$關(guān)于點（3，-2）；
（2）函數(shù)f（x）關(guān)于點（2，0）對稱，
∴f（2+x）+f（2-x）=0，
即f（x）+f（4-x）=0，
又關(guān)于點（-2，1）對稱，
∴f（-2+x）+f（-2-x）=2，
即f（x）+f（-4-x）=2，
∴f（-4-x）=2+f（4-x），
即f（x+8）=f（x）-2，
①f（-5）=f（3）+2=2³+3×3+2=19，
②x∈（8k-2，8k+2），x-8k∈（-2，2），4-（x-8k）∈（2，6），
∴f（x）=f（x-8）-2=f（x-8×2）-2×2=f（x-8×3）-2×3=…=f（x-8k）-2k，
又由f（t）=-f（4-t），
∴f（x）=f（x-8k）-2k=-f[4-（x-8k）]-2k=-[2^4-（x-8k）+3（4-（x-8k））]-2k，
∴即當x∈（8k-2，8k+2），k∈Z時，f（x）=-2^4-x+8k+3x-26k-12

點評 本題考查了抽象函數(shù)和新定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握新定義的用法，屬于中檔題．