Question

已知定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），滿足MA，MB的斜率乘積為定值-

3

4

的動點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)A的動直線l與曲線C的交點(diǎn)為P，與過點(diǎn)B垂直于x軸的直線交于點(diǎn)D，又已知點(diǎn)F（1，0），試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M（x，y），由題意可得

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，整理即為所求方程，注意x的范圍；
（2）設(shè)AP：x=my-2，代入3x²+4y²=12得（3m²+4）y²-12my=0，易求得yP=

12m

3m2+4

，xP=

6m2-8

3m2+4

，當(dāng)m≠±2時可求直線PF的方程、圓心坐標(biāo)、半徑，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可作出判斷；當(dāng)m=±2時易判斷；

解答： 解：（1）設(shè)M(x，y)，kMA•kMB=

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，
整理得C：

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．
（2）設(shè)AP：x=my-2，代入3x²+4y²=12得（3m²+4）y²-12my=0，
得yP=

12m

3m2+4

，xP=

6m2-8

3m2+4

，
當(dāng)m≠±2時，kPF=

4m

m2-4

，PF：4mx-（m²-4）y-4m=0，
又得D(2，

4

m

)，PD的中點(diǎn)M(2，

2

m

)，圓M的半徑R=

2

|m|

．
圓心M到直線PF距離d=

|8m-(m2-4) 2 m -4m|

16m2+(m2-4)2

=

2

|m|

=R，
當(dāng)m=±2，PF：x=1，D（2，±1），d=1=R．
綜上，直線PF與BD為輔直徑的圓M相切．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程、性質(zhì)，考查直線與橢圓、圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．