設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)α的定義域是[-1,+∞),其中常數(shù)α>0.
(1)若α>1,求y=f(x)的過原點的切線方程.
(2)當α>2時,求最大實數(shù)A,使不等式f(x)>1+αx+Ax2對x>0恒成立.
(3)證明當α>1時,對任何n∈N*,有1<
1
n
n+1
k=2
((
k-1
k
α+
α
k
)<α.
考點:利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求導數(shù),分類討論,利用導數(shù)的幾何意義,可求y=f(x)的過原點的切線方程.
(2)令g(x)=f(x)-1-αx-Ax2,則g(0)=0,g′(x)=α(1+x)α-1-α-2Ax,顯然g′(0)=0,且g′(x)的導函數(shù)為g″(x)=α(α-1)(1+x)α-2-2A.分類討論,根據(jù)不等式f(x)>1+αx+Ax2對x>0恒成立,即可得出結(jié)論.
(3)證明對x∈(-1,0)恒有1<(1+x)α-αx<α,在此不等式中x=-
1
2
,-
1
3
,…,-
1
n+1
,不等式相加,即可證明結(jié)論.
解答: (1)解:∵f(x)=(1+x)α,∴f′(x)=α(1+x)α-1
若切點為原點,由f′(0)=α知切線方程為y=αx+1; 
若切點不為原點,設(shè)切點為(x0,(1+x0α),
∴由切線過原點可知
(1+x0)α
x0
=α(1+x0α-1在(-1,+∞)內(nèi)有唯一的根x0=
1
α-1

∵f′(
1
α-1
)=
αα
(α-1)α-1
,
∴切線方程為y=
αα
(α-1)α-1
x+(
α
α-1
)n

綜上,所求切線有兩條:y=αx+1和y=
αα
(α-1)α-1
x+(
α
α-1
)n

(2)令g(x)=f(x)-1-αx-Ax2,則g(0)=0,g′(x)=α(1+x)α-1-α-2Ax,
顯然g′(0)=0,且g′(x)的導函數(shù)為g″(x)=α(α-1)(1+x)α-2-2A.
若A≤
α(α-1)
2
,則
2A
α(α-1)
≤1,由α>2知(1+x)α-2>1對x>0恒成立,從而對x>0恒有g(shù)″(x)>0,
即g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)增,從而g′(x)>g′(0)=0對x>0恒成立,從而g(x)在(0,+∞)單調(diào)增,
∴g(x)>g(0)=0對x>0恒成立.
若A>
α(α-1)
2
,則
2A
α(α-1)
>1,由α>2知知存在x0>0,使得(1+x)α-2
2A
α(α-1)
對x∈(0,x0)恒成立,即g″(x)<0對x∈(0,x0)恒成立,
由g′(0)=0知存在x1>0,使得g′(x)<0對x∈(0,x1)恒成立,
∵g(0)=0,∴g(x)>0不能對x>0恒成立,
綜上,最大實數(shù)A是
α(α-1)
2
;
(3)證明:當α>1時,令h(x)=f(x)-αx,則h′(x)=α[(1+x)α-1-1],
∴x∈(-1,0)時,h′(x)<0,
即h(x)=f(x)-αx在[-1,0]上單調(diào)遞減,∴h(0)<h(x)<h(-1)對x∈(-1,0)恒成立,
∵h(0)=1,h(-1)=α,
∴1<h(x)<α,
即對x∈(-1,0)恒有1<(1+x)α-αx<α,
在此不等式中x=-
1
2
,-
1
3
,…,-
1
n+1

1<(1-
1
2
)α+
α
2
<α
1<(1-
1
3
)α+
α
3
<α
,1<(1-
1
4
)α+
α
4
<α
,1<(1-
1
5
)α+
α
5
<α

1<(1-
1
n+1
)α+
α
n+1
<α
,
將以上不等式相加得:n<
n+1
k=2
(1-
1
k
)
α
+
α
k
<nα
,
1<
1
n
n+1
k=2
((
k-1
k
)
α
+
α
k
)<α
點評:本題考查導數(shù)知識的綜合運用,考查導數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式的證明,正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵.
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3
4
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2
3
1
2
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求證:
C
0
n
+
2C
1
n
+3
C
2
n
+…+(n+1
)C
n
n
=2n+n•2n-1

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