Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)、下頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)分別為F₂，B，A，AB=$\sqrt{3}$，直線l交橢圓C與P，Q兩點(diǎn)，直線AP與BQ交于點(diǎn)M．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)BP過點(diǎn)F₂時(shí)，求過A，B，P三點(diǎn)的圓的方程；
（3）當(dāng)$\frac{AM}{MP}$=$\frac{BM}{MQ}$時(shí)，求F₂M的最小值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b；
（2）求出橢圓方程，將直線y=x-1代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，設(shè)圓的一般式方程，運(yùn)用待定系數(shù)法，解得參數(shù)d，e，f即可得到所求圓的方程；
（3）由三角形相似可得AB∥PQ，求得PQ的斜率，設(shè)出P，Q的方程，運(yùn)用點(diǎn)差法，同時(shí)運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)M的軌跡方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到所求的最小值．

解答 解：（1）由橢圓方程可得A（-a，0），B（0，-b），
由題意可得a²+b²=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1；
（2）橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
即有B（0，-1），F(xiàn)₂（1，0），
直線BF₂：y=x-1，
代入橢圓方程可得，3x²-4x=0，
解得x=$\frac{4}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．
即有P（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），A（-$\sqrt{2}$，0），
設(shè)過A，B，P三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+dx+ey+f=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{2-\sqrt{2}d+f=0}\\{1-e+f=0}\\{\frac{17}{9}+\frac{4}{3}d+\frac{1}{3}e+f=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{d=\frac{\sqrt{2}-1}{3}}\\{e=-\frac{1+\sqrt{2}}{3}}\\{f=-\frac{4+\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，
即有所求圓的方程為x²+y²+$\frac{\sqrt{2}-1}{3}$x-$\frac{\sqrt{2}+1}{3}$y-$\frac{4+\sqrt{2}}{3}$=0；
（3）由$\frac{AM}{MP}$=$\frac{BM}{MQ}$，∠AMB=∠PMQ，
即有△AMB∽△PMQ，則∠MAB=∠MPQ，
即有PQ∥AB，
即有k_PQ=k_AB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，
兩式相減可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-2×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$，
又設(shè)$\frac{AM}{MP}$=$\frac{BM}{MQ}$=t，t＞0，M（x，y），
則$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{BM}$=t$\overrightarrow{MQ}$，
由A（-$\sqrt{2}$，0），B（0，-1），M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
即有x+$\sqrt{2}$=t（x₁-x），x=t（x₂-x），
相加可得2x+$\sqrt{2}$=t（x₁+x₂），①
由y=t（y₁-y），y+1=t（y₂-y），
相加可得2y+1=t（y₁+y₂），②
①÷②可得，$\frac{2x+\sqrt{2}}{2y+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有x-$\sqrt{2}$y=0，
即為點(diǎn)M的軌跡方程．
又F₂（1，0），F(xiàn)₂到直線x-$\sqrt{2}$y=的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即有F₂M的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用點(diǎn)差法，以及向量的共線坐標(biāo)表示，同時(shí)考查直線和圓方程的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．