Question

7．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x，△ABC的三邊a，b，c對應(yīng)的角分別為A，B，C，其中f（A）=2．
（1）求角A的大��；
（2）當(dāng)a=2時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）先對f（A）利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合已知可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合A的范圍可求
（2）由余弦定理可得，cosA=$\frac{1}{2}=\frac{^{2}+{c}^{2}-4}{2bc}$，然后利用基本不等式可求bc的范圍，進而可求△ABC面積的最大值

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x，
∴f（A）=$\sqrt{3}$sin2A+2cos²A=$\sqrt{3}sin2A+cos2A+1$=2…（1分），
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$…（3分），
又∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$…（4分），
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，…（5分），
∴A=$\frac{1}{3}π$…（6分），
（2）∵cosA=$\frac{1}{2}=\frac{^{2}+{c}^{2}-4}{2bc}$，
∴b²+c²=bc+4…（8分），
又b²+c²=bc+4≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號）…（9分），
∴△ABC面積$S=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$…（10分），
所以△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$…（12分）．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的求值，解題的關(guān)鍵是對三角公式的靈活應(yīng)用．