Question

8．拋物線y²=4x與過(guò)點(diǎn)A（-1，-6）的直線l交于P，Q兩點(diǎn)，若以PQ為直徑的圓過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+b，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量垂直的條件，求得b=-4k，即有直線恒過(guò)定點(diǎn)（4，0），再由直線的點(diǎn)斜式方程，即可得到所求方程．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．
聯(lián)立方程得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
則x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
則y₁y₂=4•$\frac{k}$，
又由題意可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{4b}{k}$=0，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直線l的方程為：y=kx-k=k（x-4），
故直線l過(guò)定點(diǎn)（4，0），
又直線過(guò)點(diǎn)（-1，-6），
即有直線l的方程為y=$\frac{6}{5}$（x-4），
即為6x-5y-24=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．