Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax﹣sinx（a∈R）.

（1）當(dāng)時，f（x）0恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)a≥1時，探索函數(shù)F（x）f（x）﹣cosx+a﹣1在（0，π）上的零點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由已知分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值或范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求；

（2）由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的零點判定定理可求.

解：（1）因為，

所以，

令，，

再令m（x）xcosx﹣sinx，m'（x）cosx﹣xsinx﹣cosx﹣xsinx0，

所以m（x）在（0，）上單調(diào)遞減，

所以m（x）m（0）＝0.

所以g'（x）0，則g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，

所以g（x）g（），

所以a，

又a0，

即正實數(shù)a的取值范圍是（0，].

（2）F（x）f（x）﹣cosx+a﹣1ax﹣sinx﹣cosx+a﹣1，

則，

因為x∈（0，π），

故，

又a≥1，

故F′（x）0對x∈（0，π）恒成立，

即F（x）在區(qū)間（0，π）單調(diào)遞增；

又F（0）＝a﹣2，F（π）＝a（1+π）0，

故當(dāng)1≤a2時，F（0）＝a﹣20，此時F（x）在區(qū)間（0，π）內(nèi)恰好有1個零點；

當(dāng)a≥2時，F（0）＝a﹣2≥0，此時F（x）在區(qū)間（0，π）內(nèi)沒有零點.