如圖,圓柱的高為2,底面半徑為3,AE、DF是圓柱的兩條母線,B、C是下底面圓周上的兩點,已知四邊形ABCD是正方形.
(1)求證:;
(2)求正方形ABCD的邊長;
(3)求直線與平面所成角的正弦值.
(1) AE是圓柱的母線底面BEFC, 又面BEFC   
ABCD是正方形 面ABE 
面ABE         …… 3分
(2)四邊形為矩形,且ABCD是正方形 EFBC          
       四邊形EFBC為矩形 
BF為圓柱下底面的直徑          …… 4分      
設正方形ABCD的邊長為,則AD=EF=AB=
在直角中AE=2,AB=,且BE2+AE= AB,得BE=2-4        
在直角中BF=6,EF=,且BE+EF= BF,的BE2=36-2        …… 6分
解得=,即正方形ABCD的邊長為                       …… 7分
(3)如圖以F為原點建立空間直角坐標系,則A(,0,2),B(,4,0),

E(,0,0),(,0, 2),(,4,0), (,0,0) 
設面AEF的法向量為(,,),則
,則(,,-)              …… 11分
設直線與平面所成角的大小為,則
  …… 12分
所以直線與平面所成角的正弦值為.
(1)證明線線垂直,可以通過證明線面垂直來解決.本題只要證即可.(2)在中求AB的長,在中求BC的長,然后根據(jù)AB=BC即可求出BE的長度.進而確定正方形ABCD的邊長.
(3)可以借助向量建系來解決,也可以利用三垂線定理作出直線FE與平面ABF所成的角.然后再求解.
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