Question

3．已知函數(shù)$f（x）=3sin（{\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}}）$，x∈R．
（Ⅰ）列表并畫出函數(shù)f（x）在$[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$上的簡圖；
（Ⅱ）若$f（α）=\frac{3}{2}$，$α∈[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$，求α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）列表，描出五個關鍵點并光滑連線，得到一個周期的簡圖；
（Ⅱ）由已知可得$sin（{\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}}）=\frac{1}{2}$，從而可求$\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}+2kπ$，或$\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{5π}{6}+2kπ$，（k∈Z），結合范圍$α∈[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$，即可得解α的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由“五點作圖法”列表如下：

x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
3sin（$\frac{1}{2}x-\frac{π}{4}$）	0	3	0	-3	0

…（3分）
圖象如下：

…（6分）
（Ⅱ）由$f（α）=3sin（{\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}}）=\frac{3}{2}$，得$sin（{\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}}）=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}+2kπ$，或$\frac{1}{2}α-\frac{π}{4}=\frac{5π}{6}+2kπ$，（k∈Z）
即$α=\frac{5π}{6}+4kπ$，或$α=\frac{13π}{6}+4kπ$，…（9分）
又因為$α∈[{\frac{π}{2}，\frac{9π}{2}}]$，
所以k取0，得$α=\frac{5π}{6}$或$\frac{13π}{6}$．   …（12分）

點評 本題主要考查五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用五點法是解決三角函數(shù)圖象的基本方法，屬于基礎題．