Question

若數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an

1+ a 2 n

（1）求a₂，a₃，a₄
（2）猜測{a_n}的通項公式并證明；
（3）設S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，比較S_n與2

n

-1的大小關系，并給予證明．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題

分析：（1）利用數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an

1+ a 2 n

，代入計算，可得a₂，a₃，a₄
（2）猜想a_n=

1 n

．證明{

1

an2

}是以1為首項，1為公差的等差數列即可；
（3）S_n≤2

n

-1，利用數學歸納法證明即可．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an

1+ a 2 n

，
∴a₂=

1 2

，a₃=

1 3

，a₄=

1 4

；
（2）猜想a_n=

1 n

．
∵a_n+1=

an

1+ a 2 n

，
∴

1

an+12

-

1

an2

=1，
∴{

1

an2

}是以1為首項，1為公差的等差數列，
∴

1

an2

=n，
∴a_n=

1 n

；
（3）S_n≤2

n

-1，證明如下，
n=1時，a₁=1，結論成立；
設n=k時，結論成立，即S_k≤2

k

-1，
∴S_k+1≤2

k

-1+

1 k+1

，
下面證明2

k

-1+

1 k+1

≤2

k+1

-1，
即證明2

k(k+1)

≤2k+1，
即證明4k²+4k≤4k²+4k+1，顯然成立，
∴n=k+1時，結論成立，
綜上，S_n≤2

n

-1．

點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式
設P（n）是關于自然數n的命題，若
1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立