Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥PC，PB=AB=BC=2，∠ABC=120°， ，D為AC上一點，且AD=3DC．
（1）求證：PD⊥平面ABC；
（2）若E為PA中點，求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC中點O，連接OP，OB，

則由AD=3DC，知D為OC中點．

∵AB=BC=2，∠ABC=120°，

∴由余弦定理，得 ．

∵PA⊥PC，∴在Rt△PAC中， ，

∴OP=PC，∴PD⊥AC．

又∵PB=AB=BC=2，∴OB⊥AC， ，∴OB2+OP2=PB2，∴OB⊥OP，

又∵OP∩AC=O，∴OB⊥平面PAC，∵PD平面PAC，∴OB⊥PD，

又∵OB∩AC=O，∴PD⊥平面ABC．

（2）解：以O為坐標原點，OA，OB所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，如圖所示，

則 ，B（0，1，0）， ， ， ，∴ ， ， ．

設 是平面PAB的一個法向量，則

由 ，得 ，取x=1，則 ．

設直線CE與平面PAB所成角為θ，則 ，

∴直線CE與平面PAB所成角的正弦值為 ．

解法二：作EF⊥AC于F，則 ， ，

所以 ．在△PAB中，AB=PB=2， ，

所以高

設點C到平面PAB的距離為h，則

另一方面，

所以 ，

所以直線CE與平面PAB所成角的正弦值 ．

【解析】（1）取AC中點O，連接OP，OB，證明PD⊥AC，OB⊥PD，利用線面垂直的判定定理，證明PD⊥平面ABC；（2）方法一：以O為坐標原點，OA，OB所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量方法求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．方法二：作EF⊥AC于F，求出點C到平面PAB的距離，即可求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．