【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥PC,PB=AB=BC=2,∠ABC=120°, ,D為AC上一點,且AD=3DC.
(1)求證:PD⊥平面ABC;
(2)若E為PA中點,求直線CE與平面PAB所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:取AC中點O,連接OP,OB,
則由AD=3DC,知D為OC中點.
∵AB=BC=2,∠ABC=120°,
∴由余弦定理,得 .
∵PA⊥PC,∴在Rt△PAC中, ,
∴OP=PC,∴PD⊥AC.
又∵PB=AB=BC=2,∴OB⊥AC, ,∴OB2+OP2=PB2,∴OB⊥OP,
又∵OP∩AC=O,∴OB⊥平面PAC,∵PD平面PAC,∴OB⊥PD,
又∵OB∩AC=O,∴PD⊥平面ABC.
(2)解:以O為坐標原點,OA,OB所在直線分別為x,y軸,建立空間直角坐標系O﹣xyz,如圖所示,
則 ,B(0,1,0), , , ,∴ , , .
設 是平面PAB的一個法向量,則
由 ,得 ,取x=1,則 .
設直線CE與平面PAB所成角為θ,則 ,
∴直線CE與平面PAB所成角的正弦值為 .
解法二:作EF⊥AC于F,則 , ,
所以 .在△PAB中,AB=PB=2, ,
所以高
設點C到平面PAB的距離為h,則
另一方面,
所以 ,
所以直線CE與平面PAB所成角的正弦值 .
【解析】(1)取AC中點O,連接OP,OB,證明PD⊥AC,OB⊥PD,利用線面垂直的判定定理,證明PD⊥平面ABC;(2)方法一:以O為坐標原點,OA,OB所在直線分別為x,y軸,建立空間直角坐標系,求出平面的法向量,利用向量方法求直線CE與平面PAB所成角的正弦值.方法二:作EF⊥AC于F,求出點C到平面PAB的距離,即可求直線CE與平面PAB所成角的正弦值.
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為 ,短軸端點與橢圓的兩個焦點所構成的三角形面積為1,過點D(0,2)且斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在定點 ,使 恒為定值.若存在求出這個定值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的左右焦點分別為F1 , F2 , 拋物線y2=4x與橢圓C有相同的焦點,且橢圓C過點 . (I)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若橢圓C的右頂點為A,直線l交橢圓C于E、F兩點(E、F與A點不重合),且滿足AE⊥AF,若點P為EF中點,求直線AP斜率的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,定圓C半徑為2,A為圓C上的一個定點,B為圓C上的動點,若點A,B,C不共線,且| | |對任意t∈(0,+∞)恒成立,則 = .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1,f( )= f(x)且當0≤x1<x2≤1時,f(x1)≤f(x2),則f( )等于( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】設向量 =(sinx,﹣1), =( cosx,﹣ ),函數(shù)f(x)=( + ) .
(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(2)當x∈(0, )時,求函數(shù)f(x)的值域.
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【題目】如圖是某市舉辦青少年運動會上,7位裁判為某武術隊員打出的分數(shù)的莖葉圖,左邊數(shù)字表示十位數(shù)字,右邊數(shù)字表示個位數(shù)字,這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( ),去掉一個最低分和最高分所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)是( )
A.86.5,86.7
B.88,86.7
C.88,86.8
D.86,5,86.8
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設無窮等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 已知a1=1,S3=12.
(1)求a24與S7的值;
(2)已知m、n均為正整數(shù),滿足am=Sn . 試求所有n的值構成的集合.
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