【題目】如圖，已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，短軸端點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為1，過點(diǎn)D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在定點(diǎn) ，使 恒為定值．若存在求出這個(gè)定值；若不存在，說明理由．

【答案】
（1）解：根據(jù) ，

解得 ，

橢圓C的方程為


（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程得， ，

消y得（1+2k2）x2+8kx+6=0，

則x1+x2=﹣ ，x1x2= ．

又∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣ ，

y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4= ．

∵ ，

∴ =

= ．

故 恒為定值


【解析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程解出a，b；（2）聯(lián)立方程組消元，得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，代入向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】歐巴老師布置給時(shí)鎮(zhèn)同學(xué)這樣一份數(shù)學(xué)作業(yè)：在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出四個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，使它們的底數(shù)分別為 和 ．時(shí)鎮(zhèn)同學(xué)為了和暮煙同學(xué)出去玩，問大英同學(xué)借了作業(yè)本很快就抄好了，詳見如圖．第二天，歐巴老師當(dāng)堂質(zhì)問時(shí)鎮(zhèn)同學(xué)：“你畫的四條曲線中，哪條是底數(shù)為e的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象？”時(shí)鎮(zhèn)同學(xué)無言以對(duì)，憋得滿臉通紅，眼看時(shí)鎮(zhèn)同學(xué)就要被歐巴老師訓(xùn)斥一番，聰明睿智的你能不能幫他一把，回答這個(gè)問題呢？曲線才是底數(shù)為e的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= x﹣lnx（x＞0），則函數(shù)f（x）（ ）
A.在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)無零點(diǎn)
B.在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)
C.在區(qū)間（0，3），（3，+∞）均無零點(diǎn)
D.在區(qū)間（0，3），（3，+∞）均有零點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C所列邊分別為a，b，c，且 ． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若 ，試判斷bc取得最大值時(shí)△ABC形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了得到函數(shù) 的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象（ ）
A.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在等差數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足條件 =4，n=1，2，…
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和Sn；
（2）記bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知下面四個(gè)命題： （1.）從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每15分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)，這樣的抽樣是系統(tǒng)抽樣；
（2.）兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；
（3.）對(duì)分類變量X和Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大；
（4.）在回歸直線方程 =0.4x+12中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量大約增加0.4個(gè)單位．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥PC，PB=AB=BC=2，∠ABC=120°， ，D為AC上一點(diǎn)，且AD=3DC．
（1）求證：PD⊥平面ABC；
（2）若E為PA中點(diǎn)，求直線CE與平面PAB所成角的正弦值．

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