Question

17．設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）若f（x）=2，當x∈R時f（x）最小值為0，且f（x-1）=f（-x-1）恒成立，求f（x）解析式；
（2）若對?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），試證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對稱軸，得到函數(shù)的頂點坐標，從而求出函數(shù)的解析式；（2）先求出g（x）的表達式，得到g（x）=0在（x₁，x₂）存在實根，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）由f（x-1）=f（-x-1）得：
f（x）關(guān)于x=-1對稱，又f（x）最小值為0，
所以頂點為（-1，0）且a＞0，
設(shè)f（x）=a（x+1）²，由f（1）=2得a=$\frac{1}{2}$，
f（x）=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，
則g（x₁）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]，g（x₂）=$\frac{1}{2}$[f（x₂）-f（x₁）]
g（x₁）g（x₂）=-$\frac{1}{4}$${[f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）]}^{2}$＜0，
∴g（x）=0在（x₁，x₂）存在實根，
即存在x₀∈（x₁，x₂），
使f（x₀）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]成立．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查復合命題的判斷，是一道中檔題．