Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：①f（x）+f（2-x）=0；②f（x-2）=f（-x）；③當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈[-1，0]}\\{cos（\frac{π}{2}x），x∈（0，1]}\end{array}\right.$；則函數(shù)y=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^|x|在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由①可得f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，由②可得f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)，作出f（x）在[-1，1]的圖象，再由對(duì)稱(chēng)性，作出f（x）在[-3，3]的圖象，同時(shí)作出y=（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的圖象，通過(guò)圖象觀(guān)察即可得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：由①f（x）+f（2-x）=0
可得f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，
由②f（x-2）=f（-x）
可得f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-1對(duì)稱(chēng)，
作出f（x）在[-1，1]的圖象，
再由對(duì)稱(chēng)性，作出f（x）在[-3，3]的圖象，
作出函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^|x|在[-3，3]的圖象，
由圖象觀(guān)察可得它們故有5個(gè)交點(diǎn)，
即有函數(shù)y=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^|x|在區(qū)間[-3，3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，主要考查圖象法的運(yùn)用，同時(shí)考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．