Question

4．棱長(zhǎng)是1的正四面體PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，若M、N分別是棱CA、CB的中點(diǎn)，則△PMN所在的平面截球O所得的截面面積是（　�。�

• A． $\frac{2}{11}π$
• B． $\frac{4}{11}π$
• C． $\frac{8}{11}π$
• D． $\frac{16}{11}π$

Answer 1

分析 由條件利用正四面體的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)，求得球的半徑PO的值，再利用等體積法求得點(diǎn)O到平面PMN的距離，可得平面PMN截球得到的截面圓的半徑r的值，從而求得△PMN所在的平面截球O所得的截面面積．

解答 解：設(shè)等邊△ABC的中心為H，球心為O，則PH⊥平面ABC，且O∈PH．
設(shè)CH∩MN=K，CH∩AB=E，則K為等腰三角形PMN的邊MN的中點(diǎn)．
根據(jù)正四面體PABC的棱長(zhǎng)為1，可得CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CK=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，CH=$\frac{2}{3}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PH=$\sqrt{{PC}^{2}{-CH}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，HK=CH-CK=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∵四面體ABCD的體積V=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•PH=4V_O-ABC=4•$\frac{1}{3}$•S_△ABC•OH，∴球的半徑PO=$\frac{3}{4}$PH=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
設(shè)H到平面PMN的距離為x，則點(diǎn)O到平面PMN的距離為$\frac{3}{4}$x．
由V_P-HMN=V_H-PMN，可得$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$MN•HK）•PH=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}$•MN•PK）•x，可得HK•PH=PK•x，
即 $\frac{\sqrt{3}}{12}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{{PH}^{2}{+HK}^{2}}$x=$\sqrt{\frac{33}{48}}$•x，求得x=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{11}}$，∴點(diǎn)O到平面PMN的距離為$\frac{3}{4}$x=$\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{11}}$．
設(shè)平面PMN截球得到的截面圓的半徑為r，則r=$\sqrt{{PO}^{2}{-（\frac{3}{4}x）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$，故△PMN所在的平面截球O所得的截面面積為πr²=$\frac{4π}{11}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正四面體的性質(zhì)，用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，圓的截面性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)，屬于中檔題．