Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且長軸長是短軸長的2倍．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且總有，求的取值范圍；

（3）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問：在此坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得無論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，可得之間的關(guān)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中，這樣可以求出的值，進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式寫出的表達(dá)式，根據(jù)橢圓的范圍，求出的取值范圍，根據(jù)圓的半徑和的大小關(guān)系，進(jìn)行分類討論，最后求出的取值范圍；

（3）由對稱性可知，點(diǎn)一定位于軸上，設(shè)，，，

根據(jù)題意可以判斷，根據(jù)直線是否存在斜率進(jìn)行分類討論.當(dāng)存在斜率時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，可以判斷存在定點(diǎn)滿足題意，并求出定點(diǎn)；當(dāng)不存在斜率時(shí)，解方程組，最后判斷是否滿足剛得到定點(diǎn)條件.

（1）因?yàn)殚L軸長是短軸長的2倍，所以有，橢圓過點(diǎn)

，所以有：所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，，

則，，

∴，∴，

①時(shí)，，

②時(shí)，，

綜上，．

（3）由對稱性可知，點(diǎn)一定位于軸上，

設(shè)，，，

則（*），

①的斜率存在時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，

得，

，

則（*）式為，

即，

，

整理，得，

∴，得．

②的斜率不存在時(shí)，，代入橢圓方程，得，

∴此時(shí)以為直徑的圓的方程為，也經(jīng)過點(diǎn)．

綜上，存在滿足題設(shè)條件．