Question

【題目】從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標，由檢測結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（Ⅱ）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.

（i）利用該正態(tài)分布，求；

（ii）已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為元，每件合格品（質(zhì)量指標值）的定價為元；若為次品（質(zhì)量指標值），除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶元。若該公司賣出件這種產(chǎn)品，記表示這件產(chǎn)品的利潤，求.

附：.若，則 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均數(shù)200,方差；（Ⅱ）（i）0.95；(ii)280.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)及平均數(shù)、方差的定義可得所求．（Ⅱ）(i)根據(jù)正態(tài)分布中特殊區(qū)間上的概率求解；(ii)先由正態(tài)分布得到，然后再根據(jù)均值的線性性質(zhì)求解即可．

（Ⅰ）由題意得

．

∴ ，

即樣本平均數(shù)為，樣本方差為．

（Ⅱ）(i)由（Ⅰ）可知，，，

∴,

∴，

(ii)設(shè)表示100件產(chǎn)品的正品數(shù)，由題意得

∴，

∴．