Question

4．已知函數(shù)y=f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時，有$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，則函數(shù)$F（x）=x•f（x）-\frac{1}{x}$的零點個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的圖象求解函數(shù)的零點個數(shù)．

解答 解：由$F（x）=x•f（x）-\frac{1}{x}$，可得F（x）=xf（x）-$\frac{1}{x}$=0，得xf（x）=$\frac{1}{x}$，
設(shè)g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵x≠0時，有$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，
即當(dāng)x＞0時，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
此時g（x）＞g（0）=0，
當(dāng)x＜0時，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
此時g（x）＞g（0）=0，
作出函數(shù)g（x）和函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象，（直線只代表單調(diào)性和取值范圍），
由圖象可知函數(shù)F（x）=xf（x）-$\frac{1}{x}$的零點個數(shù)為1個．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．