Question

13．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①最小正周期為π；
②將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)；
③f（0）=1；
④$f（{\frac{12}{11}π}）＜f（{\frac{14}{13}π}）$．其中正確命題的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 由函數(shù)圖象求出f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），計(jì)算最小正周期T，判斷①正確；
通過f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得y=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，判斷②錯(cuò)誤；
計(jì)算f（0）≠1，判斷③錯(cuò)誤；
求出x=$\frac{13π}{12}$是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，且在x=$\frac{13π}{12}$時(shí)f（x）取得最大值；
判斷$f（{\frac{12}{11}π}）＜f（{\frac{14}{13}π}）$，④正確．

解答 解：由函數(shù)圖象可得：A=2，周期T=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=π，∴①正確；
由周期公式可得：ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，
由點(diǎn)（$\frac{π}{3}$，0）在函數(shù)的圖象上，根據(jù)五點(diǎn)法畫圖得：
2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，
解得$\frac{2π}{3}$+φ=π，得φ=$\frac{π}{3}$，
從而得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得y=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，
該函數(shù)不是偶函數(shù)，②錯(cuò)誤；
f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$≠1，∴③錯(cuò)誤；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z；
當(dāng)k=1時(shí)，得出f（x）在區(qū)間[$\frac{7π}{12}$，$\frac{13π}{12}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{13π}{12}$，$\frac{19π}{12}$]上單調(diào)遞減；
∴x=$\frac{13π}{12}$是f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，且在x=$\frac{13π}{12}$時(shí)f（x）取得最大值；
又$\frac{π}{2}$＞|$\frac{13π}{12}$-$\frac{12π}{11}$|＞|$\frac{13π}{12}$-$\frac{14π}{13}$|，
∴$f（{\frac{12}{11}π}）＜f（{\frac{14}{13}π}）$，∴④正確．
綜上，正確命題的序號(hào)是①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是綜合性題目．