Question

1．如圖所示，PA切圓于A，PA=8，直線PCB交圓于C，B，連接AB，AC，且PC=4，AD⊥BC于D，∠ABC=α，∠ACB=β，則$\frac{sinα}{sinβ}$的值等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 過A作AD⊥BC于D，則得到三角形ABD和ACD為直角三角形，然后由角P為公共角，根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角得到角CAP等于角B，由兩組對應(yīng)角相等得到兩三角形相似，得到對應(yīng)邊成比例，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義表示出sinα和sinβ的比值，將已知的PA和PC的長代入即可求出值．

解答 解：由題意，sinα=$\frac{AD}{AB}$，sinβ=$\frac{AD}{AC}$，
∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，
∴△ACP∽△BAP，∴$\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{PA}$，
又PA=8，PC=4，
則$\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{AD}{AB}$÷$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
故選B．

點評 此題切線的性質(zhì)，三角形相似的判別與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的定義．作出AD垂直于BC構(gòu)造兩直角三角形是解本題的關(guān)鍵．解答此類題的方法是仔細(xì)審題，結(jié)合圖形，找到突破點．