Question

已知集合P={x|1≤x≤8，x∈Z}，直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1有且只有一個公共點，其中m，n∈P，則滿足上述條件的雙曲線共有（　�。�

• A、4條
• B、3條
• C、2條
• D、1條

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意，將直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1的方程聯(lián)立，消去y得：（m-4n）x²-4nx-n-1=0；分①直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1相切，②直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1相交，討論，分別利用判別式與直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1的一條漸近線y=

m n

x平行即可求得答案．

解答： 解：∵直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1有且只有一個公共點，
∴由

y=2x+1 mx2-ny2=1

消去y得：（m-4n）x²-4nx-n-1=0，
①若m-4n≠0，直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1相切，
則△=16n²-4（m-4n）（-n-1）=0，
整理得：m（n+1）=4n，
∴m=

4n

n+1

，又m，n∈P={x|1≤x≤8，x∈Z}，
∴當n=1時，m=2符合題意；
當n=3時，m=3符合題意；當n為2，4，5，…，8時均不符合題意；
②若m-4n=0，直線y=2x+1與雙曲線mx²-ny²=1相交，則直線y=2x+1必與雙曲線mx²-ny²=1的一條漸近線y=

1 n

1 m

=

m n

x平行，
∴

m n

=2，

m

n

=4，m，n∈P，
∴當n=1時，m=4；
當n=2時，m=8．
綜合①②知，滿足上述條件的雙曲線共有4條，
故選：A．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查方程思想與分類討論思想的綜合應用，考查雙曲線的漸近線方程，考查綜合運算與求解能力，屬于難題．