Question

10．關(guān)于x的方程x²-kx+k+$\frac{1}{4}$=0的實根的絕對值都小于1，則實數(shù)k的取值范圍為-$\frac{5}{8}$＜k≤2-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²-kx+k+$\frac{1}{4}$，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系建立條件關(guān)系即可．

解答 解：設(shè)f（x）=x²-kx+k+$\frac{1}{4}$，
∵方程x²-kx+k+$\frac{1}{4}$=0的實根的絕對值都小于1，
∴判別式△=k²-4（k+$\frac{1}{4}$）=k²-4k-1≥0，
解得k≥2+$\sqrt{5}$或k≤2-$\sqrt{5}$．
∴方程的兩個根滿足-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（-1）＞0}\\{-1＜-\frac{-k}{2}＜1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-k+k+\frac{1}{4}＞0}\\{1+k+k+\frac{1}{4}＞0}\\{-2＜k＜2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}＞0}\\{k＞-\frac{5}{8}}\\{-2＜k＜2}\end{array}\right.$，
即-$\frac{5}{8}$＜k＜2，
∵k≥2+$\sqrt{5}$或k≤2-$\sqrt{5}$．
∴-$\frac{5}{8}$＜k≤2-$\sqrt{5}$．
故答案為：-$\frac{5}{8}$＜k≤2-$\sqrt{5}$

點評 本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．