Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

PD

•

PA

取得最小值時(shí)，

CP

PD

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：△PDA中，由余弦定理求得

PD

•

PA

=

AP2+DP2-1

2

≥

2AP•DP-1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)AP=DP，取等號．此時(shí)，求得CP=

3

2

，DP=

37

2

，從而可得

CP

PD

的值．

解答： 解：∵

PD

•

PA

=PD•PA cos∠APD，△PDA中，由余弦定理可得
1=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2

PD

•

PA

，
∴

PD

•

PA

=

AP2+DP2-1

2

≥

2AP•DP-1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)AP=DP，取等號．
即P是AD的中垂線和BC的交點(diǎn)時(shí)，

PD

•

PA

最小．
此時(shí)，CP=

3

2

，DP=

32+( 1 2 )2

=

37

2

，∴

CP

PD

=

3 2

37 2

=

3

37

，
故答案為：

3

37

．

點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理、兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．