Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）若,求在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)為和，極大值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)為；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）時(shí)，，先求切線斜率，又切點(diǎn)為，利用直線的點(diǎn)斜式方程求出直線方程；（Ⅱ）極值點(diǎn)即定義域內(nèi)導(dǎo)數(shù)為0的根，且在其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號(hào)，首先求得定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033034925550.png" style="vertical-align:middle;" />，再去絕對(duì)號(hào)，分為和兩種情況，其次分別求的根并與定義域比較，將定義域外的舍去，并結(jié)合圖象判斷其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，進(jìn)而求極值點(diǎn)；（Ⅲ）即，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)號(hào)得恒成立或恒成立，轉(zhuǎn)換為求右側(cè)函數(shù)的最值處理.
試題解析：的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033034925550.png" style="vertical-align:middle;" />.
(Ⅰ)若，則，此時(shí).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033035284763.png" style="vertical-align:middle;" />，所以,所以切線方程為，即.
（Ⅱ）由于，.
⑴ 當(dāng)時(shí)，，，
令，得，（舍去），
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,的極小值點(diǎn)為.
⑵ 當(dāng)時(shí)，.
① 當(dāng)時(shí)，，令，得,(舍去).
若，即，則，所以在上單調(diào)遞增；
若，即， 則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值點(diǎn)為.
② 當(dāng)時(shí)，.
令，得，記，
若，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
若，即時(shí)，則由得，且，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)為和，極大值點(diǎn)為；
當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)為；
當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)為.
（Ⅲ）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033035362640.png" style="vertical-align:middle;" />.由，可得…（*）
（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，不等式（*）恒成立；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即，所以；
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，不等式（*）恒成立等價(jià)于恒成立或恒成立.
令,則.令,則,
而，所以，即，
因此在上是減函數(shù)，所以在上無(wú)最小值，
所以不可能恒成立.
令，則，因此在上是減函數(shù)，
所以，所以.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033037296365.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
綜上所述，滿足條件的的取值范圍是.