Question

7．在極坐標系中，P是曲線C₁：ρ=12sinθ上的動點，Q是曲線C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=-10上的動點．
（1）請判斷C₁，C₂分別是什么圖形；
（2）求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：ρ=12sinθ，即ρ²=12ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．曲線C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=-10，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）+10=0，利用互化公式即可得出直角坐標方程．
（2）求出圓心到直線的距離d，即可得出|PQ|的最小值為d-6．

解答 解：（1）曲線C₁：ρ=12sinθ，即ρ²=12ρsinθ，
化為直角坐標方程：x²+y²=12y，
配方為：x²+（y-6）²=36，
表示以（0，6）為圓心，6為半徑的圓．
曲線C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=-10，
展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）+10=0，
化為直角坐標方程：x+y+10$\sqrt{2}$=0．
表示一條直線．
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{6+10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=10+3$\sqrt{2}$．
∴|PQ|的最小值為d-6=4+3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．