Question

17．已知函數(shù)f（x）=xlnx-ax²+a不存在最值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [1，+∞）
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 問題等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象最多1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y=lnx和y=2ax-1相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是（x₀，lnx₀），求出a的臨界值即可．

解答 解：由題意，f′（x）=lnx+1-2ax
令f′（x）=0，得lnx=2ax-1，
函數(shù)f（x）不存在最值，等價(jià)于f′（x）=lnx-2ax+1最多1個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象最多1個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)y=lnx和y=2ax-1相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是（x₀，lnx₀），
∴$\left\{\begin{array}{l}{l{nx}_{0}=2{ax}_{0}-1}\\{2a=\frac{1}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{1}{2}$，
故當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，直線y=2ax-1與y=lnx的圖象相切，
故a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，y=lnx與y=2ax-1的圖象最多1個(gè)交點(diǎn)．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．