Question

在△ABC中，已知C=

3π

4

，cos2B=

1

2

+sin²A．
（Ⅰ）求tanB；
（Ⅱ）若BC=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）由題意和內(nèi)角和定理求出A=

π

4

-B，代入cos2B=

1

2

+sin²A，利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，求出tanB；
（Ⅱ）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinB、cosB，再由兩角差的正弦公式求出sinA，由正弦定理求出BC，代入面積公式求出△ABC的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由C=

3π

4

得，A=π-B-C=

π

4

-B，
所以cos2B=

1

2

+sin²A=

1

2

+sin²（

π

4

-B）=

1

2

+

1

2

[1-cos（

π

2

-2B）]，
則 1-2sin2B=1-

1

2

sin2B=1-sinBcosB，
即2sin²B=sinBcosB，
因?yàn)?span id="cxak9vj" class="MathJye">0＜B＜

π

4

，所以sinB＞0，
所以tanB=

1

2

；
（Ⅱ）由0＜B＜

π

4

，tanB=

1

2

得，

sinB cosB = 1 2 sin2B+cos2B=1

，
解得sinB=

5

5

，cosB=

2 5

5

，
所以sinA=sin（

π

4

-B）=sin

π

4

cosB-cos

π

4

sinB
=

2

2

（

2 5

5

-

5

5

）=

10

10

，
由正弦定理得，

AC

sinB

=

BC

sinA

，所以AC=

BC•sinB

sinA

=

2× 5 5

10 10

=2

2

．
所以△ABC的面積S=

1

2

AC•BCsinC=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理、三角形的面積公式，以及三角恒等變換的公式，熟練掌握定理和公式是解題的關(guān)鍵．