Question

已知雙曲線，分別是它的左、右焦點(diǎn)，是其左頂點(diǎn)，且雙曲線的離心率為.設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)位于第一象限內(nèi).

（1）求雙曲線的方程；

（2）若直線分別與直線交于兩點(diǎn)，求證：；

（3）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

 

Answer 1

（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，，理由祥見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知首先得到，再由離心率為２可求得的值，最后利用雙曲線中基本量的關(guān)系求出值，從而就可寫(xiě)出所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為：，與雙曲線方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一個(gè)一元二次方程；再設(shè)，則由韋達(dá)定理就可用的式子表示出，再用點(diǎn)Ｐ，Ｑ的坐標(biāo)表示出直線ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可寫(xiě)出點(diǎn)Ｍ，Ｎ的坐標(biāo)，進(jìn)而就可寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，再計(jì)算得，即證明得；（3）先取直線的斜率不存在的特列情形，研究出對(duì)應(yīng)的的值，然后再對(duì)斜率存在的情形給予一般性的證明：不難獲得，從而假設(shè)存在使得恒成立，然后證明即可．

試題解析：（1）由題可知： 1分

2分

∴雙曲線C的方程為： 3分

（2）設(shè)直線的方程為：，另設(shè)：

4分

5分

又直線AP的方程為，代入 6分

同理，直線AQ的方程為，代入 7分

9分

（3）當(dāng)直線的方程為時(shí)，解得. 易知此時(shí)為等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分

下證：對(duì)直線存在斜率的情形也成立.

11分

12分

13分

∴結(jié)合正切函數(shù)在上的圖像可知， 14分

考點(diǎn)：1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．直線與雙曲線的位置關(guān)系；３．探索性問(wèn)題．