Question

(本小題滿分12分）

已知直線l₁：4x:－3y＋6=0和直線l₂：x＝－，.若拋物線C:y²=2px上的點(diǎn)到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為2.

(I )求拋物線C的方程；

(II)直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且AA₁，BB₁都垂直于直線l₂，垂足為A₁，B₁，直線l₂與y軸的交點(diǎn)為Q，求證：為定值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）= 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）為拋物線的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為，由拋物線的定義知，拋物線上的點(diǎn)到直線的距離等于其到焦點(diǎn)的距離，

拋物線上的點(diǎn)到直線的距離與到焦點(diǎn)的距離之和的最小值為焦點(diǎn)到直線的距離……3分

所以，

所以拋物線的方程為……………5分

（Ⅱ）設(shè)，,

設(shè):，則

得

所以，，

，

……………7分

又

………………10分

=……………12分

考點(diǎn)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的幾何意義，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用的是拋物線的幾何性質(zhì)，注意明確焦點(diǎn)軸和p的值。研究直線與拋物線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達(dá)定理，通過“整體代換”，簡(jiǎn)化解題過程，實(shí)現(xiàn)解題目的。