Question

在△ABC中，內角∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c，且2acosC+c=2b．
（1）求tanA的大�。�
（2）若a²=bc，求∠C的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據正弦定理，把2acosC+c=2b化為2sinAcosC+sinC=2sinB，再由B=π-（A+C），化簡求出A的值即可；
（2）由余弦定理，寫出cosA的表達式，結合題意，求出b=c，得出△ABC是等腰三角形，且為等邊三角形即可．

解答： 解：（1）∵2acosC+c=2b，
由正弦定理得，2sinAcosC+sinC=2sinB；
∴2sinAcosC+sinC=2sin（A+C）=2（sinAcosC+cosA sinC），
即sinC（2cosA-1）=0；
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

，tanA=

3

；
（2）由余弦定理得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
即b²+c²-a²=bc；
又∵a²=bc，
∴b²+c²-2bc=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形；
∵A=

π

3

，
∴△ABC是等邊三角形，
∴C=

π

3

．

點評：本題考查了解三角形的應用問題，解題時應靈活應用正弦定理和余弦定理的公式求角和邊長，是中檔題目．