Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n=3ⁿ+m，且a₁=2，
（1）求m的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n-a_n=n+6，（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．
（3）若數(shù)列{c_n}滿足：c_n=na_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和P_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=3ⁿ+m，當n=1時，a₁=3+m=2，解得m．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1可得a_n．
（2）由b_n-a_n=n+6，（n∈N^*），可得b_n=2×3^n-1+n+6，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．
（3）c_n=na_n=2n•3^n-1，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=3ⁿ+m，∴當n=1時，a₁=3+m=2，解得m=-1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，
當n=1時上式成立．
∴a_n=2×3^n-1，m=-1．
（2）∵b_n-a_n=n+6，（n∈N^*），
∴b_n=2×3^n-1+n+6，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$+$\frac{n（7+n+6）}{2}$
=3ⁿ-1+$\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{13}{2}n$．
（3）c_n=na_n=2n•3^n-1，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和P_n=2（1+2×3+3×3²+…+n•3^n-1），
3T_n=2[3+2×3²+3×3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
∴-2P_n=2（1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）=2$（\frac{{3}^{n}-1}{3-1}-n•{3}^{n}）$，
∴P_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}+1}{2}$．

點評 本題考查了遞推公式的應用、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．