2.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=3n+m,且a1=2,
(1)求m的值及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足:bn-an=n+6,(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn
(3)若數(shù)列{cn}滿足:cn=nan,求數(shù)列{cn}的前n項和Pn

分析 (1)由Sn=3n+m,當n=1時,a1=3+m=2,解得m.當n≥2時,an=Sn-Sn-1可得an
(2)由bn-an=n+6,(n∈N*),可得bn=2×3n-1+n+6,利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.
(3)cn=nan=2n•3n-1,利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出.

解答 解:(1)∵Sn=3n+m,∴當n=1時,a1=3+m=2,解得m=-1.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,
當n=1時上式成立.
∴an=2×3n-1,m=-1.
(2)∵bn-an=n+6,(n∈N*),
∴bn=2×3n-1+n+6,
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$2×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$+$\frac{n(7+n+6)}{2}$
=3n-1+$\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{13}{2}n$.
(3)cn=nan=2n•3n-1,
∴數(shù)列{cn}的前n項和Pn=2(1+2×3+3×32+…+n•3n-1),
3Tn=2[3+2×32+3×33+…+(n-1)•3n-1+n•3n],
∴-2Pn=2(1+3+32+…+3n-1-n•3n)=2$(\frac{{3}^{n}-1}{3-1}-n•{3}^{n})$,
∴Pn=$\frac{(2n-1)•{3}^{n}+1}{2}$.

點評 本題考查了遞推公式的應用、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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