Question

20．隨州市某處有如圖所示的A、B、C、D四個景點，目前AD、AB、DC之間已修建公路，市政府為了更好發(fā)展隨州的旅游產(chǎn)業(yè)，決定新修建兩條公路用以連接B、D兩景點和B、C兩景點．現(xiàn)測得AD=5km，AB=7km，∠ADB=60°，∠ADC=105°，∠CBD=15°
（Ⅰ）求公路BD的長度；
（Ⅱ）求公路BC的長度．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理只要解三角形ABD即可；
（2）利用正弦定理解三角形BCD．

解答 解：（Ⅰ）在△ABD中，設(shè)BD=x，則AB²=BD²+AD²-2BD•AD•cos∠BDA，
即7²=5²+x²-10xcos60°，整理得到x²-5x-24=0，解得x=8，x=-3（舍去），
所以公路BD的長度為8km；
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理得到$\frac{BD}{sin∠BCD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，其中BD=8，∠BDC=∠ADC-∠ADB=105°-60°=45°，∠BCD=180°-∠CBD-∠BDC=180°-15°-45°=120°，
所以$\frac{8}{sin120°}=\frac{BC}{sin4{5°}^{\;}}$，所以BC=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，所以公路BC的長度為$\frac{8\sqrt{6}}{3}$km．

點評 本題考查了解三角形的實際應(yīng)用；關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為解三角形的問題解答．