Question

6．已知x＞0，y＞0，z＞0，x+y+z=3，求$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)基本不等式：x+y+z≥3$\root{3}{xyz}$-----①；$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$-----②；再兩式同向相乘即可．

解答 解：因為x＞0，y＞0，z＞0，根據(jù)基本不等式：
x+y+z≥3$\root{3}{xyz}$-----------①
$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$---------②
①②兩式同向相乘得，
（x+y+z）•（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$）≥（3$\root{3}{xyz}$）•（3$\root{3}{\frac{1}{xyz}}$）=9，
所以，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$≥$\frac{9}{x+y+z}$=3，
當且僅當：x=y=z=1時，原式取得最小值，
即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+$\frac{1}{z}$的最小值為3．

點評 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，以及不等式同向相乘的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．